2015年高考权威预测卷 理科数学 (湖南卷) 高考

1.已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（　　）

2.已知i为虚数单位，若数列{an}满足：a1=i，且（1﹣i）an+1=（1+i）an，则复数a5=（　　）

3.已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①m⊥α，n∥α，则m⊥n；                   

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；       

④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β。

其中正确命题的序号是（　　）

6.（1-x）2（1+y）3的展开式中xy2的系数是

5.定义×=||||sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=5，||=13，•=-25，则×等于（　　）

7.设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）

8.已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

9.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（　　）

10.某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），则

①f（x）的图象是中心对称图形；            

②f（x）的图象是轴对称图形；

③函数f（x）的值域为；      

④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；

⑤方程有两个解。

上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（　　）

11.某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为________。

12.（x2+）6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S=________。

13.执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为________。

14.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1。则曲线C1与曲线C2的交点个数为________个。

15.已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ=________。

16.若实数x，y，z满足x2+y2+z2=4，则x+2y﹣2z的取值范围为________。

17.设a∈R，满足，

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域。

18.2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

19.如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点。

（l）求证：EP⊥AC；

（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣C的大小。

20.设{an}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为Sn，且5S1、2S2、S3成等差数列．

（l）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和。是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式Tn＞（）k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由。

21.设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图。若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值。

22.已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx。

（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；

（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由。