20.已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当m＜﹣2时，...-答案和解析-微考场-微学网

20.已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．

（1）判断函数f（x）的单调性；

（2）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；

（3）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．

正确答案及相关解析

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，，

①当m＞0时，

解f′（x）≥0得﹣2≤x≤2，解f′（x）＜0得x＜﹣2或x＞2；

所以f（x）在[﹣2，2]上单调递增，在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减；

②当m＜0时，

解f′（x）≤0得﹣2≤x≤2，f′（x）＞0得x＜﹣2或x＞2；

所以f（x）在[﹣2，2]上单调递减；在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增．

（2）当m＜﹣2，﹣2≤x≤2时，

在[﹣2，2]上单调递减，

由（1）知，f（x）在[﹣2，2]上单调递减，

所以在[﹣2，2]上单调递减；

∴；

．

（3）当m≥2，x1∈[2，+∞）时，

，

由（1）知h（x1）在[2，+∞）上单调递减，

从而h（x1）∈（0，f（2）]，

即；

当m≥2，x2＜2时，

在（﹣∞，2）上单调递增，

从而h（x2）∈（0，g（2）），即；

对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2

知识点

导数的加法与减法法则

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