设圆的半径为r,

圆心为O,

AB为圆的一条直径，

CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M,

若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为r/2，

设EF为与CD平行且到圆心O距离为r/2的弦，

交直径AB于点N,所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，

该点在线段MN上移动，所以所求概率P=r/2r=1/2，所以选C