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综合题12.0分
理科数学

19.已知四棱柱的底面为正方形，，、分别为棱、的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）已知，，取线段的中点，求二面角的余弦值.

考察知识点

  • 直线与平面垂直的判定与性质
  • 线面角和二面角的求法

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正确答案及相关解析

正确答案

（1）略

（2） 

解析

（1）证明：关键步骤：,则.

（2）由已知可得四棱柱为正方体，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面的一个法向量为，，则面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.

考查方向

本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，以及利用空间坐标系求二面角的方法等知识。

解题思路

（1）由线线垂直推出线面垂直。

（2）建立空间坐标系，求法向量，最后求出二面角。

易错点

（1）第一问推理不够严密。

（2）法向量求错，从而导致结果错误。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质 线面角和二面角的求法
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