如图,已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱)中,
,
,
.
21.求证:平面
.
22.求与平面
所成的角的的正弦值;
23.求二面角的正弦值.
19.四棱锥底面是平行四边形,面
面
,
,
,
分别为
的中点.
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值
19.如图,在四面体PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分别是PA,AC、CB、BP的中点.
(1)求证:D、E、F、G四点共面;
(2)求证:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,,求四面体PABC的体积.
19.如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求点B到平面MAC的距离.
(1)略;
以为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
.
,
又因为
所以,
建立空间直角坐标系,写出所需要的各个点的坐标,然后即可证明,
在建立坐标系时坐标写错;
(2)
(Ⅱ)设为平面
的一个法向量.
由,
,
得取
,则
.
又
设与平面
所成的角为
,则
,
即与平面
所成的角的的正弦值
先求平面的一个法向量,然后带入线面角的公式即可;
记错公式导致结果出错,主要是求正弦余弦弄不明白。
(3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的一个法向量为
设为平面
的一个法向量,
由,
,
,
得取
,则
.
设与
所成角为
,则
,
所以二面角的正弦值为
分别求平面法向量和平面
的法向量,然后带入公式即可。
无