如图,已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱)中,,,.
21.求证:平面.
22.求与平面所成的角的的正弦值;
23.求二面角的正弦值.
19.四棱锥底面是平行四边形,面面,,,分别为的中点.
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值
19.如图,在四面体PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分别是PA,AC、CB、BP的中点.
(1)求证:D、E、F、G四点共面;
(2)求证:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,,求四面体PABC的体积.
19.如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求点B到平面MAC的距离.
(1)略;
以为原点,所在直线分别为
轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,.
,
又因为
所以,
建立空间直角坐标系,写出所需要的各个点的坐标,然后即可证明,
在建立坐标系时坐标写错;
(2)
(Ⅱ)设为平面的一个法向量.
由,,
得取,则.
又
设与平面所成的角为,则,
即与平面所成的角的的正弦值
先求平面的一个法向量,然后带入线面角的公式即可;
记错公式导致结果出错,主要是求正弦余弦弄不明白。
(3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的一个法向量为
设为平面的一个法向量,
由,,,
得取,则.
设与所成角为,则,
所以二面角的正弦值为
分别求平面法向量和平面的法向量,然后带入公式即可。
无