综合题13.0分
理科数学

如图,已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱)中,

21.求证:平面.

22.求与平面所成的角的的正弦值;

23.求二面角的正弦值.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)略;

解析

为原点,所在直线分别为

轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,

,.

,

又因为

所以,

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识,意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

建立空间直角坐标系,写出所需要的各个点的坐标,然后即可证明,

易错点

在建立坐标系时坐标写错;

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

(Ⅱ)设为平面的一个法向量.

,则

与平面所成的角为,则,

与平面所成的角的的正弦值

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识,意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先求平面的一个法向量,然后带入线面角的公式即可;

易错点

记错公式导致结果出错,主要是求正弦余弦弄不明白。

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

(3)

解析

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的一个法向量为

为平面的一个法向量,

,则

所成角为,则

所以二面角的正弦值为

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识,意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

分别求平面法向量和平面的法向量,然后带入公式即可。

易错点