设.
19.的图象关于原点对称,当
时,
的极小值为
,求
的解析式;
20.若,
是
上的单调函数,求
的取值范围.
;
因为的图象关于原点对称,所以有即
,
所以,
所以 ,所以
由,依题意,
,
解之,得. 经检验符合题意
故所求函数的解析式为.
(I)根据图象关于原点对称得出为奇函数,从而得出
,再由
时,
的极小值为
,建立关于
、
的方程组,解出
、
的值即可得到
的解析式;
本题给出三次多项式函数,研究函数的奇偶性与单调性.着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质和不等式恒成立等知识,属于中档题;当函数为奇函数时,对于任意均有
成立,结合在极值点处导数为
,以及极小值联立方程组,在涉及极值求解析式的题目中,对最后所求结果一定要进行检验.
(Ⅱ).
当时,
,
因为是
上的单调函数,所以
恒成立,
即恒成立, 即
成立,所以
.
(II)若,则
,由题意
在
上恒为非负或者恒为非正.因此求出导数并利用二次函数的性质建立关于
的不等式,解之即可得到实数
的取值范围.
本题给出三次多项式函数,研究函数的奇偶性与单调性.着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质和不等式恒成立等知识,常常需把函数的单调性转化为恒成立问题,单调递增转化为恒成立,单调递减转化为
恒成立.