综合题12.0分
文科数学

已知,函数

27.讨论函数的单调性;

28.若函数有两个不同的零点,求实数a的取值范围;

29.在28题的条件下,求证:

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.

解析

f(x)的定义域为(0,+∞),其导数f'(x)=﹣a.

①当a≤0时,f'(x)>0,函数在(0,+∞)上是增函数;

②当a>0时,在区间(0,)上,f'(x)>0;在区间(,+∞)上,f'(x)<0.

∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.

考查方向

本题主要考查了含参数的函数的单调性。

解题思路

求出导数,然后分类讨论a的范围对函数单调性的变化。

易错点

分类讨论a的范围引起函数单调性的变化。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

a的取值范围是(0,1)

解析

由上题知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点,

当a>0时,f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数,此时f()为函数f(x)的最大值,

当f()≤0时,f(x)最多有一个零点,∴f()=ln>0,解得0<a<1,

此时,,且f()=﹣1﹣+1=﹣<0,

f(

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由上题可知

函数f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.分析:∵0,∴.只要证明:f()>0就可以得出结论.

下面给出证明:构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),则g'(x)=+2a=

函数g(x)在区间(0,]上为减函数.0<x1,则g(x1)>g(

考查方向

本题主要考查了构造函数证明不等式问题。

解题思路

分析得到,可得,然后构造函数

g(x)=f(﹣x)﹣f(x)进行证明。

易错点

构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)。