已知,函数
27.讨论函数的单调性;
28.若函数有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
29.在28题的条件下,求证:
∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.
f(x)的定义域为(0,+∞),其导数f'(x)=﹣a.
①当a≤0时,f'(x)>0,函数在(0,+∞)上是增函数;
②当a>0时,在区间(0,)上,f'(x)>0;在区间(,+∞)上,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.
求出导数,然后分类讨论a的范围对函数单调性的变化。
分类讨论a的范围引起函数单调性的变化。
a的取值范围是(0,1)
由上题知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点,
当a>0时,f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数,此时f()为函数f(x)的最大值,
当f()≤0时,f(x)最多有一个零点,∴f()=ln>0,解得0<a<1,
此时,<,且f()=﹣1﹣+1=﹣<0,
f(
见解析
由上题可知
函数f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.分析:∵0,∴.只要证明:f()>0就可以得出结论.
下面给出证明:构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),则g'(x)=+2a=,
函数g(x)在区间(0,]上为减函数.0<x1,则g(x1)>g(
分析得到,可得,然后构造函数
g(x)=f(﹣x)﹣f(x)进行证明。
构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)。