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综合题12.0分
文科数学

已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点,且当线段的中点在轴上时，.

24.求该椭圆的离心率；

25.设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.

考察知识点

  • 椭圆的几何性质
  • 圆锥曲线的定点、定值问题
  • 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

.e=

解析

当线段A的中点在y轴上时，AC垂直于轴，为直角三角形.

因为cos∠,所以||=3||,易知||=,由椭圆的定义||+||=2a

，所以e=

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

先证出为直角三角形，求出，再由定义得到a,b方程, 从中解出离心率

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

+是定值6

解析

由24得椭圆方程为,焦点坐标为，当AB、AC的斜率都存在时,设,A()、B()、C()

则直线AC的方程为y=, 代入椭圆方程得,=0

 又，同理，，+=6

(2) 若AB⊥x轴，则=1，，这时也有.+

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

由24得到含有b的椭圆方程，根据题意对直线AB、AC的斜率进行分为讨论，设出坐标，联立方程组，利用根与系数关系，结合向量关系式，将向量关系转化为坐标关系，用A的坐标及b,表求，，验证是否为定值。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

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