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综合题12.0分
文科数学

21.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

考察知识点

  • 椭圆的定义及标准方程

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正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

解析

（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为

考查方向

椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，导数应用，零点存在性定理。

解题思路

（I）判断三角形ADM为等腰直角三角形，表示M坐标，并求解，然后求面积(II)直线AM，AN是过同一点互相垂直的直线，先用直线AM与椭圆相交，直曲联立求出M点横坐标，从而表示,同理表示，然后代入2构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理。

易错点

构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理

知识点

椭圆的定义及标准方程
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