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综合题12.0分
理科数学

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

19.证明：平面AEC⊥平面AFC；

20.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

考察知识点

  • 异面直线及其所成的角
  • 平面与平面垂直的判定与性质
  • 直线、平面垂直的综合应用

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

解析

见答案

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；

易错点

本题在证明过程中推理不严密易错。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

易错点

本题在写垂直的过程不能写全条件。

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