在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE ：EB＝CF ：FA＝CP ：PB＝1 ：2，如图（5）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1一EF－B成直二面角，连结A1B、A1P，如图（6）．
21.求证：A1E⊥平面BEP；
22.求二面角B—A1P—E的余弦值．
考察知识点
- 直线、平面垂直的综合应用
- 线面角和二面角的求法
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19.四棱锥
底面是平行四边形，面
面
,
,
,
分别为
的中点.
（1）求证：
（2）求二面角
的余弦值
19．如图，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA，AC、CB、BP的中点．
（1）求证：D、E、F、G四点共面；
（2）求证：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，
，求四面体PABC的体积．
19．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．
正确答案
（1）A1E⊥平面BEP；
解析
解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .
(1)在图5中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE
又AE=DE=1，∴EF⊥AD
在图6中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE
又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP
考查方向
解题思路
（1）不妨设正三角形ABC 的边长为 3，取BE的中点D，连接DF,从而证明到EF⊥AD，再利用二面角A1一EF－B成直二面角推出A1E⊥BE，从而得证。
（2）由（1）构建空间直角坐标系并写出相关点的坐标，通过计算平面法向量的方法来计算二面角的余弦值。
易错点
平面翻折到空间中的不变量与改变量易出错及空间点坐标的确定。
正确答案
(2) 二面角B-A1P-E余弦值是
解析
解：
(2)建立分别以EB、EF、EA1为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A1(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, 
由
令
设平面A1PE向量为
考查方向
解题思路
（1）不妨设正三角形ABC 的边长为 3，取BE的中点D，连接DF,从而证明到EF⊥AD，再利用二面角A1一EF－B成直二面角推出A1E⊥BE，从而得证。
（2）由（1）构建空间直角坐标系并写出相关点的坐标，通过计算平面法向量的方法来计算二面角的余弦值。
易错点
平面翻折到空间中的不变量与改变量易出错及空间点坐标的确定。