综合题12.0分
文科数学

19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,且侧面BB1C1C是菱形,∠B1BC=60°.

(Ⅰ)求证:AB1⊥BC;

(Ⅱ)若AB⊥AC,AB1=BB1,且该三棱柱的体积为2,求AB的长.

考察知识点

  • 空间中直线与平面之间的位置关系
正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)略(Ⅱ)AB=2

解析

(Ⅰ) 取BC的中点M,连接AM,B1M.

因为AB=AC, M是BC的中点,所以AM⊥BC

又因为侧面BB1C1C是菱形,且∠B1BC=60°

所以B1M⊥BC,

而AM∩B1M=M ,  AM, B1M平面AB1M,

所以BC⊥平面AB1M,因为A B1平面AB1M

所以BC⊥AB1

(Ⅱ) 设AB=,依题意可得,AC=,BC=

因为 M是BC的中点,所以

又因为AB1=BB1,  所以    所以AB12

考查方向

本题通过线线垂直、线面垂直、柱体的高与体积等知识,考查考生空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

解题步骤如下:在本题中,要证明两条异面直线垂直,需要证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面,即需要线面垂直,即可得到线线垂直。根据题目给出的条件,知道体积,要求线段AB的长,联想到体积等于底面积乘以高,自然而然要去证明B1M为三棱柱ABC--A1B1C1的高,即可求出线段AB的长。

易错点

1、本题易在证明线面垂直时发生错误 。2、本题不容易得出B1M为三棱柱ABC--A1B1C1的高,导致题目无法进行。

知识点

空间中直线与平面之间的位置关系