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综合题12.0分
文科数学

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为且点在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点，求直线的方程和线段AB的长．

考察知识点

  • 椭圆的定义及标准方程
  • 椭圆的几何性质
  • 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案及相关解析

正确答案

（1）；（2）当直线为时，|AB|=；

解析

（Ⅰ）由题意得：，------------------------------3分

故椭圆的方程为：---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）依题意可知直线存在斜率，设直线

由----------------①------------------5分

直线与椭圆相切②-----6分

由-----------------------③----------------------7分

直线与抛物线

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

第（1）问直接根据题中条件列方程组求解即可；第（2）问先设直线l的方程，然后分别将l的方程与圆和椭圆的方程联立消元得到判别式等于0得到关于m和k的方程组求解即可。

易错点

在第（2）问中联立消元时运算求解出错；不会转化题中给出的条件直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点。

知识点

椭圆的定义及标准方程 椭圆的几何性质 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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