填空题5.0分
文科数学

16.在正三棱锥V—ABC内,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时,其高等于__________.

正确答案及相关解析

正确答案

解析

设球心为O,设底边OD=x和体高OP=x,如图:则

考查方向

本题考察了导数在最大值、最小值问题中的应用;棱锥的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体.

解题思路

1)设底边长a和侧高l

2)把三棱锥的体积分割成以球心为定点的三个三棱锥,求体积之和即椎体的体积

3)根据体积求出a.l的关系

4)利用公式计算体高

易错点

主要易错于球的几何性质用错

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积