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综合题14.0分
文科数学

已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，

两点，直线与直线交于点．

27.求椭圆的离心率；

28.若垂直于轴，求直线的斜率；

29.试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

考察知识点

  • 椭圆的定义及标准方程

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率

（Ⅰ）椭圆的标准方程为.

所以，，.

所以椭圆的离心率.

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质，属于中档题．

解题思路

通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；

易错点

解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆（）的离心率．

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1.

解析

试题分析：（Ⅱ）由直线的特殊位置，设出，点坐标，设出直线的方程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率.

（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，.

考查方向

本题主要考查的是直线的斜率，属于中档题．

解题思路

通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；

易错点

解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误.

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）直线与直线平行.

解析

试题分析：（Ⅲ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明，即两直线平行.

（Ⅲ）直线与直线平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.

又因为直线的斜率

考查方向

本题主要考查的是两条直线的位置关系，属于中档题．

解题思路

分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．

易错点

若两条直线，斜率都存在，则且．

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