解：（1）由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x.

所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.

又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.

从而f(x)=ex-x+x2.

由于f'(x)=ex-1+x,

故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;

当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

（2）由已知条件得ex-(a+1)x≥b.①

(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时,可得ex-(a+1)x<b,因此①式不成立.

(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.

(ⅲ)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x,

则g'(x)=ex-(a+1).

当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;

当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.

从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.

故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).

所以f(x)≥x2+ax+b等价于

b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②

因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).

设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),

则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).

所以h(a)在(-1,