20.已知有穷数列:,().若数列中各项都是集合的元素,则称该数列为数列.对于数列,定义如下操作过程:从中任取两项,将的值作为的最后一项,然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列,可继续实施操作过程,得到的新数列记作,,如此经过次操作后得到的新数列记作.
(Ⅰ)设请写出的所有可能的结果;
(Ⅱ)求证:对于一个项的数列,操作T总可以进行次;
(Ⅲ)设求的可能结果,并说明理由.
解:
(Ⅰ)有如下的三种可能结果:
(Ⅱ),有且
所以,即每次操作后新数列仍是数列.
又由于每次操作中都是增加一项,删除两项
所以对数列每操作一次,项数就减少一项
所以对项的数列可进行
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