如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
18.求证:BD∥平面FGH;
19.若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
连接,设,连接
见答案
(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;
直线与平面平行的判定,构造线面平行或面面平行时辅助线或辅助面的作法.微考场版权所有
(II)解法一:
设,则,
在三棱台中,
为的中点,
由,
可得 四边形为平行四边形,
因此,
又 平面,
所以 平面,
在中,由
(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.
二面角法向量的确定,二面角大小的观察。