综合题12.0分
理科数学

如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

18.求证:BD∥平面FGH;

19.若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

连接,设,连接

解析

见答案

考查方向

考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及其性质。

解题思路

(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;

易错点

直线与平面平行的判定,构造线面平行或面面平行时辅助线或辅助面的作法.微考场版权所有

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(II)解法一:

,则,

在三棱台中,

的中点,

,

可得 四边形为平行四边形,

因此,

又  平面

所以 平面

中,由

考查方向

线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式,平面和平面所成角的定义.

解题思路

(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.

易错点

二面角法向量的确定,二面角大小的观察。