综合题12.0分
理科数学

18.如右下图,在四棱锥中,直线

(I)求证:直线平面.

(II)若直线与平面所成的角的正弦值为

求二面角的平面角的余弦值.

正确答案及相关解析

正确答案

(I)见解析;(II)

解析

试题分析:本题属于立体几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接请直线和平面内的两条相交直线垂直(2)找二面角的平面角或找半平面的法向量(3)解三角形或求法向量的夹角的余弦值.

法一(Ⅰ)取中点,连接,则,∴四边形是平行四边形,∴ //∵直角△和直角△中,∴直角△直角△,易知

又∵平面

考查方向

本题考查了立体几何中的线面关系和二面角:1、利用几何法证明线面垂直;2、求二面角的三角函数值;3、利建立空间直角坐标系的方法解立体几何问题.

解题思路

本题考查了立体几何中的线面关系和二面角,解题步骤如下:(方法一)1、证明直线的平面内的两条相交直线垂直 2、找二面角的平面角,然后解三角形求二面角的平面角.(方法二)1、建立恰当的空间直角坐标系,找平面内两个不共线的向量及直线的方向向量,证明数量积为0. 2、找二面角内两个半平面中不指向二面角同侧的法向量,求余弦值即可.

易错点

1、第一问中容易忽略线面垂直中的与两条相交直线垂直. 2、找二面角的平面角时不易找出夹在二面角内的垂线段,即二面角的平面角不容易找到. 3、利用空间直角坐标系解题容易将坐标找错,法向量的方向找反导致二面角的三角函数值求错.

知识点

直线与平面平行的判定与性质