如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=
PAB=90°,BC=CD=
AD.E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
21.在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
22.若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE,CM
平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(I)延长,交直线
于点
,
∵为
中点,
∴,
∵,
∴,
∵ 即
,
∴四边形为平行四边形,
,
∵,
∴,
∴,
∵
本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.
本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.本题易在第一问找点时出错.
(Ⅱ).
(Ⅱ)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.
易知PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,
所以AH=.
在Rt△PAH中,PH==
,
所以sinAPH=
=
.
本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.
本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.本题易在第一问找点时出错.