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综合题12.0分
理科数学

已知函数.

26.若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

27.令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

28.当时，证明：.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得

考查方向

本题主要考查运用导数来解决函数单调性问题.

解题思路

先对函数进行求导，根据函数在上是减函数可得到其导函数在上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得的范围．

易错点

无

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

a=e2

解析

假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增

∴，a=e2，满足条件．

③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3

考查方向

本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

解题思路

先假设存在，然后对函数进行求导，再对的值分情况讨论函数在上的单调性和最小值，可知当能够保证当x在上有有最小值3

易错点

无

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

令F（x）=e2x﹣lnx，由上题知，F（x）min=3．令，，

当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴

∴，即．

考查方向

本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．

解题思路

令，然后再令并求导，再由导函数来判断单调性.

易错点

如何构造函数.

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