19.已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求...-答案和解析-微考场-微学网

19.已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）若bn=an•f（an），当时，求数列{bn}的前n项和Sn；

（3）若cn=anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

正确答案及相关解析

见解析。

（1）证明：由题意f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2，即logkan=2n+2，

∴an=k2n+2∴．

∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，

∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知，bn=anf（an）=k2n+2•（2n+2），

当时，bn=（2n+2）•2n+1=（n+1）•2n+2．

∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2，①2Sn=2•24+3•25+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3．②

②﹣①，得Sn=﹣2•23﹣2

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

考察知识点