已知函数在定义域内有两个不同的极值点.-答案和解析-微考场-微学网

已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

27.求实数a的取值范围；

28.记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.

第1小题正确答案及相关解析

由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；

（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，

如下图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．

令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故

本题主要考查了利用导数研究函数的性质。

解法(一)是先研究相切时直线的斜率，即可得。解法（二）分离参数法。解法（三）极值法。

利用导数研究函数的性质。

第2小题正确答案及相关解析

λ≥1

因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．

由上题可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2

所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，

所以原式等价于．

又由lnx1=

本题主要考查了构造函数，然后利用导数研究函数的性质。

首先分析不等式成立时的条件，然后构造函数进行证明。

分析法不熟练，以及通过转化构造函数。