21. 已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）时，讨论的单调性；（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值...-答案和解析-微考场-微学网

21. 已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）时，讨论的单调性；

（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．

正确答案及相关解析

正确答案

（1）函数的极小值为，无极大值；

（2）当时，，函数的在定义域单调递减；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增；

当时，在区间

解析

第（1）问可以直接通过求函数极值的方法进行求解；第（2）问属于用导数研究函数的性质的问题，是导数题目中的常见问题；第（3）问是用导数作为工具来解决不等式问题，题目综合性较强，难度较大。解答过程如下：

（1）函数的定义域为．，令，

得；（舍去）．

当变化时，的取值情况如下：

所以，函数的极小值为，无极大值．

（2），令，得

考查方向

本题考查了导数的运算、利用导数研究函数的性质、不等式等基础知识和方法，考查函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。

解题思路

1、第（1）问可以直接通过求函数极值的方法进行求解，在解题的过程中需要注意细心运算；

2、第（2）问可以通过函数的单调性与导数的关系，利用导数判断函数的单调性，在解题的过程中需要注意根据a的取值范围进行分类讨论；

3、第（3）问可以通过转化化归的方法，将问题转化为函数的最大、最小值问题进行求解。

易错点

解题的过程中忽略对a的取值范围进行分类讨论而导致错误。

知识点

导数的乘法与除法法则

Version 2.3.3

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