19.已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，...-答案和解析-微考场-微学网

19.已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q。

问：在轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案及相关解析

正确答案

（1）；（2）存在定点符合题意。

解析

（1）由可得，， ①

可得，，

在中由余弦定理有，，又，可得②，

联立①②得，

所以椭圆方程为.

（2）设点，由，得，，化简得，所以，

解题思路

（1）先由离心率得到a,c的关系式，再结合余弦定理得到，联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）把直线与椭圆方程联立后转化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系同时结合进行判断即可。

知识点

椭圆的定义及标准方程

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