填空题5.0分
理科数学
16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体
在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 ．
考察知识点
- 圆系方程
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正确答案及相关解析
正确答案
解析
因为小正四面体在正四面体纸盒内可以任意转动，所以小正四面体在正四面体纸盒的内切球中，则小正四面体棱长最大时即棱长为球内接正方体的面对角线。设正四面体内切球的半径为R，内切球的内接正方体棱长为
所以小正四面体的棱长的最大值为
故小正四面体的棱长的最大值为
考查方向
本题主要考查了正四面体体积公式，正四面体内切球半径的计算方法与球内接正方体的棱长的计算方法，考查等体积解决问题的能力，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。
解题思路
1、利用等体积计算正四面体内切球半径。
2、计算正四面体内切球内接正方体的棱长，最后算出小正四面体的棱长即可。
易错点
1、本题不易想出如何使小正四面体在纸盒内可以任意转动会转换成什么模型。
2、本题在利用等体积计算正四面体内切球半径和计算球内接正方体的棱长时易出错。
知识点
圆系方程
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