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18．已知函数，函数，其中．

（Ⅰ）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；

（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围。

正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），；

（Ⅱ），或．

解析

试题分析：本题属于导数的应用的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意作差构造新函数

（Ⅰ）解：求导，得，，．

由题意，得切线l的斜率，即，解得．

又切点坐标为，所以切线l的方程为．

（Ⅱ）解：设函数，．

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的零点，导数作为一种工具，其应用主要分以下几类：

1．利用导数研究函数的单调性，

2．利用导数研究函数的极值、最值，

3．利用导数研究函数的零点个数，

4．利用导数研究不等式恒成立问题．

解题思路

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的应用，解题步骤如下：

1．求导，利用导数的几何意义得到等式，求出值和切线方程；

2．作差构造函数，将问题转化为函数有且只有一个零点；

3．求导，通过导函数的符号研究函数的单调性与极值；

4．通过研究极值的符号得到答案．

易错点

忽视新函数的定义域

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义直线的一般式方程

Version 2.3.3

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