19.已知椭圆C:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线
与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,若过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
和
,且满足
(O为坐标原点),求实数
的取值范围。
见解析。
(1)由题意:以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,
∴圆心到直线的距离
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,
代入*式得b=c=1 ∴
故所求椭圆方程为
(2)由题意知直线的斜率存在,设直线
方程为
,设
将直线方程代入椭圆方程得:
∴
∴
设