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综合题13.0分
理科数学

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

21.求证：平面平面；

22.若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

23.若二面角大小为，求的长．

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

证明：∵  ，，为的中点，

∴四边形为平行四边形，

∴  ．

∵，

∴，即．

又∵平面平面，且平面平面

考查方向

本题主要考查了线面垂直，面面垂直的性质定理与判定定理

解题思路

由面面垂直的性质定理即可证得平面，从而可得证平面平面

易错点

线面垂直，面面垂直定理的应用

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：∵，为的中点，

∴．

∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

如图2，

以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

考查方向

本题主要考查了用空间向量法求异面直线所成角

解题思路

以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．即可得各点的坐标，从而可得的坐标．由向量数量积公式可求得夹角的余弦值

易错点

空间向量法的计算

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（2）知平面的法向量为，

由，且，

得，

又，

∴平面法向量为．

∵二面角为，

∴，∴，

∴

考查方向

本题主要考查了用空间向量法解决二面角及线段长度问题

解题思路

根据向量垂直数量积为0可求得面和面的法向量，两法向量夹角的余弦值的绝对值等于．从而可得点的坐标，即可求得的长

易错点

空间向量法的计算

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