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综合题13.0分
理科数学

如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

25.求椭圆E的方程；

26.在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

考察知识点

  • 椭圆的定义及标准方程
  • 椭圆的几何性质
  • 圆锥曲线的定点、定值问题
  • 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由已知，点在椭圆E上.

因此，

解得.

所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得.再根据离心率得，又，三者联立，解方程组即可得，进而得椭圆的方程为.

易错点

不会转化题中给出的条件；

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，Q点的坐标为.

解析

当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.

如果存在定点Q满足条件，则，即.[来源:Z。xx。k.Com]

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.

则，

由，有，解得或

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q的坐标为.接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有.设，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点B关于y轴对称的点，这样将问题转化为证三点共线.

易错点

想不到先解决特色情况再证明一般情况。

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