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综合题13.0分
理科数学

已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

25.求椭圆E的方程及点T的坐标；

26.设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

考察知识点

  • 椭圆的定义及标准方程

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；

解析

（I）设短轴一端点为，左，右焦点分别为，

则.

由题意，为直角三角形.

∴ 解得，

∴.

代入可得 .

与椭圆只有一个交点，则，解得.

∴.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.

解题思路

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．

易错点

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.易在第二问运算中出错。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

（II）设在上，由，平行.

得的参数方程为  代入椭圆得.

.

整理可得 .

设两根为，   则有.

而，

，

考查方向

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.

解题思路

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．

易错点

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.易在第二问运算中出错。

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