理科数学 黄浦区2014年高三试卷-格致中学 月考

1．已知集合，，则 （   ）．

2．若函数与的图像关于直线对称，则 （   ）．

3．已知角的终边上的一点的坐标为，则角的最小正值为（   ）．

4．已知和都是纯虚数，那么（   ）．

5．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则．

6．设为等差数列，若，则的值为（   ）．

7．设整数是从不等式的整数解的集合中随机抽取的一个元素，记随机变量，则的数学期望 （   ）．

8．对于空间中的三条直线，有以下四个条件：

①三条直线两两相交；

②三条直线两两平行；

③三条直线共点；

④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交．

其中使这三条直线共面的充分条件有（   ）个．

9．圆的圆心的极坐标是 （   ）．

10．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，则的取值范围是 （   ）．

11．把实数、、、排形成如的形式，称之为二行二列矩阵．定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为____________．

12．已知数列满足：，，，若前项中恰好含有项为，则的值为（   ） ．

13．在面积为的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是 （   ）．

14．设函数，下列四个命题中真命题的序号是 （   ） ．

（1）是偶函数；              

（2）不等式的解集为；

（3）在上是增函数；   

（4）方程有无数个实根．

15．如果是关于的实系数方程的一个根，则圆锥曲线的焦点坐标是（     ）

16．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 （       ）

17．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有位同学参加，其中一班有位，二班有位，其他班有位．若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的位同学没有被排在一起的概率为  （       ）

18．设函数，其中．若是的三条边长，则下列结论中正确的是      （      ）

①对一切都有；

②存在，使不能构成一个三角形的三条边长；

③若为钝角三角形，则存在，使．

19．如图，棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，．

（1）求证：；

（2）求与平面所成的角的正弦值．

20．设三个内角所对的边分别为．已知．

（1）求角的大小；

（2）如图，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值．

21．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线上任意—点满足：．

（1）求曲线的方程；

（2）设点是曲线上的任意一点，过原点的直线与曲线相交于两点，若直线的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论；

（3）设曲线与轴交于两点，点在线段上，点在曲线上运动．若当点的坐标为时，取得最小值，求实数的取值范围．

23．已知等比数列的首项，公比，数列前项和记为，前项积记为．

（1）证明：；

（2）求为何值时，取得最大值；

（3）证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列。