理科数学 西城区2015年高三试卷-北京市第四中学 月考

1.已知集合，，则AB=（  ）

2.设复数（是虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）

3.已知 ，且，则向量与向量的夹角为（        ）

4.椭圆的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）

5.函数的图象大致为 （     ）

6.以下四个命题中：

①已知命题，“命题为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件；

②若命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”；

③记正棱柱的集合为直棱柱的集合为，则；

④命题“若，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则”.

其中真命题的个数为（   ）

7.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（     ）

8. 某校举行玩具机器人竞速比赛，要求参赛的机器人在规定的轨道中前行5秒钟，以运动的路程长短来决定比赛成绩.已知某同学参赛的玩具机器人的运动速度（单位：米/秒）和时间 （单位：秒）的满足关系大致如图所示，那么该玩具机器人运动5秒钟后，行驶的路程（单位：米）可以是（   ）

9.若圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则__________.

10.在等差数列中，若，，则正整数_________．

11.设二项式的展开式的二项式系数的和为，各项系数的和为，且，则的值为__________ .

12.若满足若 的最大值为，则实数__________.

13. 已知，则的最小值是_________.

14.在平面直角坐标系中,已知集合，集合.则：

（1）点集所表示的区域的面积为________；

（2）点集所表示的区域的面积为________.

15.在中，角的对边分别为，，.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

16.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

17.在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：；

（3）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

18. 已知函数，其中．

（Ⅰ）若是的极值点，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．

19.已知圆经过点，且与直线：相切，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程;

（2）过点的直线交曲线于两点.在直线上任取一点，记依次为直线的斜率，证明：成等差数列.

20．对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，试求的值；

（Ⅱ）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；

（Ⅲ）若，（指集合B 中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.