理科数学 南京市2014年高三试卷 高考

1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝（    ）

2．若复数 （i是虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（     ）

3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图。根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为（    ）

4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是（    ）

5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是（     ）

6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（    ）条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

7．函数的单调增区间是（    ）

8．设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为（    ）

9．设a，b均为正实数，则的最小值是（    ）

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是（    ）

11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则的值为（    ）

12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点。若△PQM是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）

13．对于定义域内的任意实数x，函数f（x）＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是（    ）

14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（    ）

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。

（1）求角的值；

（2）若角，边上的中线=，求的面积。

16．在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求证：CE//平面PAB。

17．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装。要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示。设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3 在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值。

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0）。过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G 。

（1）求实数a，b的值；

（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S，求S的取值范围；

（3）求证：点G在一条定直线上。

19．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27。

（1）若a4＝b3，b4－b3＝m

①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；

②若数列{bn}是唯一的，求m的值；

（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值。

20．设a是实数，函数f（x）＝ax2＋（a＋1）x－2lnx

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切点的横坐标；

（3）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h（x），当x≠x0 时，若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g（x）的“巧点”。当a＝时，试问函数y＝f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由。

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．几何证明选讲

如图，设AB、CD是圆O的两条弦，直线AB是线段CD的垂直平分线。已知AB=6，CD=，求线段AC的长度。

B．矩阵与变换

设矩阵A=，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量，求ad-bc的值。

C．坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，求线段AB的最小值。

D．不等式选讲

设a，b，c均为正数，abc=1，求证：。

22．在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，２，３，4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|。

（1）求P（ξ＝1）；

（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望。

23．有三种卡片分别写有数字1，10和100。设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m。考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2。

（1）若m＝100，直接写出选法种数；

（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an  当n≥2时，求数列{an}的通项公式。