随机变量及其分布
1 随机变量
表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X, Y, Z等表示随机变量，它们的取值用小写字母 等表示。
常见的有两种随机变量。
离散型随机变量：仅取数轴上的有限个点或可列个点。比如，一批产品中的次品数X是离散型随机变量，它的可能取值是0，1，2，……
连续型随机变量：可能取值充满数轴上的一个区间。一台电视机的寿命 (单位：小时)是连续型随机变量，在 上取值。“ ”表示事件“寿命不超过10000小时。”
2 随机变量的分布
(1) 离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布可用分布烈表示。假设离散型随机变量 可能取的值为 。取这些值的概率为， 。这些可以用一个表清楚地表示出来
… …
概率 … …
作为一个分布， 满足一下条件： ， 。这样的分布称作离散分布， 称作分布的概率函数。
例 3 设袋中装有6个球，编号为{-1，2，2，2，3，3}，从袋中任取一球，求取到的球的号 的分布律。
解 因为 可取的值为-1，2，3，而且 ， ， ，所以 的概率分布为
-123
例 4 某厂生产的三极管，每100支装一盒，记X为一盒中不合格品数，厂方多次抽查，根据近千次的抽查纪录，从未发现一盒中有6支或6支以上的不合格三极管，用统计方法整理历史数据可得如下分布：
0 1 2 3 4 5
0.284 0.2000 0.0900 0.080 0.004
从表中可以看出，最可能发生的不合格品数在0到2之间，它的概率为：
而超过3个不合格品的概率很小：
3 连续型随机变量的分布
连续型随机变量 的分布用概率密度函数 表示。下面以产品的某个质量特性值 来说明 的由来。
假如我们一个接一个地测量产品的质量特性 ，把测量得来的x值一个接一个地描在数轴上，当累积到很多x时，就形成了一个图形，把纵轴改为单位长度上的频率，由于频率的稳定性，随着被测质量特性x的增多，图形就越稳定，其外形显现出一条曲线，这条曲线就是概率密度曲线，相应的表达式称为概率密度曲线。由于频率稳定于概率，因此可以用概率代替频率，从而纵轴成为“单位长度上的概率”，这就是概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线，它一定位于x轴的上方，即 ，并且与x轴所夹面积恰为1。而X在区间 (a,b)上取值的概率为 区间上的面积。
4 随机变量分布的均值、方差与标准差
随机变量的分布有几个重要的特征数，用来表示分布的中心位置和散布大小。
均值用来表示分布的中心位置，用 表示。
(1) 均值的计算方法：
(2) 方差的计算方法
方差表示分布的散布大小，用 表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。
(3) 标准差
方差的平方根即为标准差，记为 ，即 。