辞書には
『〔接尾〕（「しだ（時）」の変化という説がある）動詞の連用形に付いて、その時、ついでの意を表す。「帰りしな」「寝しな」など。
国語大辞典（新装版）小学館 1988』
と載っています。
何々に際してとか、何々の途中という意味です。
東京に出てきてから「行きしな」とか「帰りしな」という言葉を聞いたことがありませんので、これはたぶん関西弁だと思います。
【例】
「帰りしな、ちょっと寄ってくるわ」
たぶん東京弁では「帰る途中でちょっと寄ってきます」と言うはずですが、どうもピンときません。
正しく「～しな」という意味を表現するには、「帰る途中でついでにちょっと寄ってきます」と「ついでに」を入れなければなりません。
ただし、「寝しな歯ぁ磨けよ」という場合には、「寝る前には」とか「寝るときには」いう意味だけで、寝る「ついでに」と言う意味はありません。