AB、线圈在下落分别经过图中的四个位置：1位置cd边刚进入磁场，2位置ab边进入磁场，3位置cd边刚出磁场，4位置ab边刚出磁场，根据题意1、3位置速度为v0；2到3位置磁通量不变，无感应电流，线圈只受重力，做加速度为g的匀加速运动；结合1、3位置速度相同，可知1到2减速，2到3匀加速，3到4减速，并且1到2减速与3到4减速所受合力相同，运动情况完全相同．对线圈由1到3位置用动能定理：mgd-W=△Ek=0，W为克服安培力所做的功，根据能的转化和守恒定律，这部分能量转化为电能（电流所做的功），所以线圈由1到3位置电流做功为mgd；线圈由1到3位置过程中只有线圈由1到2位置有电流，所以线圈由1到2位置有电流做功为mgd，线圈由3到4位置与线圈由1到2位置完全相同，所以线圈由3到4位置有电流做功也为mgd．综上所述，从cd边刚进入磁场起一直到ab边离开磁场为止，即1到4位置电流做功为2mgd．A错误，B正确．

C、线圈速度最小时并未受力平衡，不满足

，所以C错误．

D、有以上分析可知2和4位置速度最小，初始位置到1位置自由落体，2到3位置做加速度为g的匀加速运动

，结合两式解得；D正确．

故选：BD